Anton Fürst ist in Vorarlberg aufgewachsen und hat an den Universitäten Neuchâtel und Zürich Veterinärmedizin studiert. Von 1990 bis 1997 war Anton Fürst Assistent am Veterinärchirurgischen Institut der Vetsuisse-Fakultät der Universität Zürich. Während dieser Zeit absolvierte er die Prüfungen für den Pferdefachtierarzt der Schweiz (FVH-Pferde) und das europäische Board für Chirurgie (DECVS). 1998 hielt sich Fürst im Rahmen des «Willenegger Fellowship» an der Ohio State University of Columbus (USA) auf. Im Februar 2011 nahm er die Berufung zum Lehrstuhl für Pferdechirurgie in Zürich an und ist seitdem Direktor der Klinik für Pferdechirurgie an der Vetsuisse-Fakultät der Universität Zürich. Im Mittelpunkt seiner wissenschaftlichen Arbeit steht die biomechanische und biodynamische Untersuchung von Pferdeknochen, die Beurteilung der Frakturentstehung in experimentellen Untersuchungen und die Analyse von neuen Fixationssystemen. Daneben gilt sein Forschungsinteresse der Behandlung von subchondralen Knochenzysten beim Pferd sowie der Verbesserung der Erste-Hilfe-Massnahmen schwerverletzter oder –erkrankter Pferde.
